티스토리

똑바른 날개

검색하기

블로그 홈

똑바른 날개

upright-wing.tistory.com/m

하루하루 즐겁게 살고 있습니다.

구독자: 1

방명록 방문하기

주요 글 목록

[MPC책 공부 - 14] 2장 - Linear quadratic MPC예제 시스템 정의$$x^+ = f(x, u) := x - u$$즉, 다음 상태는 현재 상태에서 제어 입력을 뺀 값이다.비용 함수stage cost$$\ell(x, u) := \frac{1}{2}(x^2 + u^2)$$terminal cost$$V_f(x) := \frac{1}{2}x^2$$total cost(horizon =2 )$$V_N(x, u) = \frac{1}{2} \left( x(0)^2 + u(0)^2 + x(1)^2 + u(1)^2 + x(2)^2 \right)$$제어 제약 조건:$$u(k) \in [-1, 1] \quad \text{for } k = 0, 1$$두 가지 풀이 방식방법 1: 상태와 입력 모두를 최적화 변수로 사용구분방식 1: 상태와 입력을 모두 최적화 변수로 사용방식 2: 입력만.. 공감수 0 댓글수 2 2025. 4. 2.
[MPC책 공부 - 13] 2장 - 최적 제어의 해는 언제 존재하는가? 본 게시글은 최적제어의 해가 존재하는 조건은 무엇인지, 그렇다면, 해가 집합일 경우 어떻게 처리되는지에 대한 내용을 다루고 있다. 해당 최적제어는 연속이라는 가정에서 출발한다.Assumption 2.2: 시스템과 비용의 연속성다음 함수들은 모두 연속이라고 가정한다.시스템 동역학 \( f(x, u) \)단계 비용 함수 \( \ell(x, u) \)종료 비용 함수 \( V_f(x) \)또한 모두 원점에서 0의 값을 갖는다.$$\begin{aligned}f(0, 0) &= 0 \\\ell(0, 0) &= 0 \\V_f(0) &= 0\end{aligned}$$ Assumption 2.3: 제약 집합의 성질제약 없는 경우를 위한 정의실제 대다수의 경우는 , 제어 입력에 제약이 존재하지만, 제약이 있는 경우와 제약.. 공감수 0 댓글수 0 2025. 4. 1.
[PythonRobotics 분석] LQR_steer_control 분석(Infitie Horzion) main 코드def main(): print("LQR steering control tracking start!!") ax = [0.0, 6.0, 12.5, 10.0, 7.5, 3.0, -1.0] ay = [0.0, -3.0, -5.0, 6.5, 3.0, 5.0, -2.0] goal = [ax[-1], ay[-1]] cx, cy, cyaw, ck, s = cubic_spline_planner.calc_spline_course( ax, ay, ds=0.1) target_speed = 10.0 / 3.6 # simulation parameter km/h -> m/s sp = calc_speed_profile(cx, cy, cyaw, target_speed).. 공감수 1 댓글수 0 2025. 3. 27.
[PythonRobotics 분석] PID편 오늘은 PID, LQR, MPC에 대한 구현을 해놓은 pythonRobotics를 비교해보면서 이론이 실제로 어떻게 적용됬는지 알아보려고 한다.먼저 너무나도 잘알려져 있는 PID편에 다루겠다.Rear wheel feedback control상태에 대한 정의 및 kinematics 모델class State: def __init__(self, x=0.0, y=0.0, yaw=0.0, v=0.0, direction=1): self.x = x self.y = y self.yaw = yaw self.v = v self.direction = direction def update(self, a, delta, dt): self.x .. 공감수 1 댓글수 0 2025. 3. 25.
[MPC책 공부 - 12] 2장 - 시스템 연속성, 제약, 비용 함수 책에서는 이 장 전체에서 다음과 같은 가정을 한다.We assume in this chapter that the state \( x \) is known.해당 말이 의미하는 바는 다음과 같다.제어 입력을 계산할 때, 현재 시스템의 정확한 상태 \( x(k) \)를 완전히 알고 있다고 가정한다.이 가정 하에서는 관측 오차나 센서 노이즈가 없으며, 제어기는 실제 상태를 완전히 관측 가능한 상황이다.이 가정은 MPC의 기본 구조와 안정성 분석을 단순화하기 위한 것으로, 실제 시스템에서는 상태를 estimate해야 하며, 이때는 observer나 filter가 필요하다.-> 해당 내용은 3장에서 본격적으로 다루지만, simple한 mpc부터 차근차근 공부해보겠다.Proposition) 시스템 해의 연속성함수 \.. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 25.
[MPC책 공부] 2장도입, 표기법 정리 시스템 모델: 비선형 이산시간 시스템이제 다루는 시스템은 이산시간 비선형 시스템이며, 다음과 같이 정의된다:$$\begin{aligned}x^+ = f(x, u)\end{aligned}$$\( x \in \mathbb{R}^n \): 현재 상태\( u \): 현재 입력\( x^+ \): 다음 상태 (successor state)\( f \): 연속적인 비선형 함수이며, \( f(0, 0) = 0 \)인 경우 원점이 평형점이다.이는 연속시간 모델 \( \dot{x} = f(x, u) \)의 이산화된 형태이며, MPC 설계의 기본 시스템 모델로 사용된다.표기법 정리 (Notation)정수 집합:\( \mathbb{I} \): 전체 정수 집합\( \mathbb{I}_{\ge 0} = {0, 1, 2, \dot.. 공감수 1 댓글수 0 2025. 3. 24.
[MPC책 공부 - 11] 외란과 보정 Disturbances and Zero offset 측정되지 않는 disturbance는 시스템 제어 변수에 영향을 미칠 수 있다. 이러한 문제는 disturbance rejection로 잘알려져 있다.. 이러한 측정되지않은 disturbance가 들어오더라도 시스템 제어 변수에 바로 영향을 미치는 것이 아닌, 점진적으로 영향을 미치도록 nonzero disturbance를 보상하는 시스템을 설계하려고 한다. 이때, 우리는 선택된 제어 변수에 offset을 설정하여 튜닝하는 것이 아닌, zero offset으로 구성하려고자 한다. 해당 문제는 5장에서 중요하게 다룰텐데, 여기서는 간략하게 다루겠다. 외란을 없애는 핵심 방법은 다음 세 가지로 요약됨:모델링: 외란을 적분형 모델로 가정상태 추정기(estimator, e.g., Kalman filter)를 .. 공감수 1 댓글수 0 2025. 3. 23.
[MPC책 공부 - 10] Tracking Setpoint TrackingSetpoint Tracking이란 제어 시스템의 출력\( y(k) \)가 사용자가 정한 원하는 목표값 \( y_{sp} \) 에 도달도록 만드는 제어 전략이다.즉, \( y(k) \to y_{\text{sp}} \) as \( k \to \infty \) 실제 현업에서는 regulation(원점으로 보내기)보다는 tracking 문제가 더 일반적이다.ex) 로봇암 위치제어 등등 Regulation Setpoint Tracking목표 상태를 0으로상태를 원하는 값으로수식 \( x \to 0 \)\( y \to y_{\text{sp}} \)예 정지 위치 이동 Regulation -> Tracking기존 system regulation 문제를 Tracking 문제를 바꾸기 .. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 21.
[MPC책 공부 - 9] Moving Horizon Estimation 회사에서 최적제어에 대한 필요성이 점점 생기고 있어, 좀더 빠른속도로 공부해야겠다...Moving Horizon EstimationMoving Horizon Estimation(MHE)은 비선형 시스템 모델을 사용하거나 상태 추정 시 제약 조건을 고려해야 할 때 사용하는 기법이다.기존의 Kalman 필터(KF)나 Least Squares Estimation(LSE)와 비교하여, MHE는 최근 N개의 측정값만을 사용하여 상태를 추정하는 특징을 갖는다.MHE의 필요성일반적인 Kalman 필터는 선형 시스템에서 최적 상태 추정을 제공하지만, 비선형 시스템이나 제약이 있는 시스템에서는 적용하기 어렵다.비선형 시스템:Kalman 필터는 선형시스템에서만 사용가능하다. EKF나 UKF가 있지만, 비선형에 따라서 사용.. 공감수 1 댓글수 0 2025. 3. 20.
[MPC책 공부 - 7] LQR(Linear Quadratic Regulator)의 수렴 오늘은 매일 게시글 올리기로 한 친구가 당일약속 당일취소를 한 기념으로 게시글을 올리려고 한다.ㅋㅋ 책 1.3.5에 나오는 Controllability는 증명 부분이고, 요약하자면, Cayley-Hamilton정리에 의해, \(N\ge n\)일때( \( N \) 은 horizon이고, \( n \)은 state vector 즉, 차원) Controllability하다는 사실을 알고가면 된다. 증명하고자 하는 결론Infinite Horzion LQR 문제는 다음과 같은 Cost function을 최소화하는 문제이다.$$\begin{aligned} V(\mathbf{x}, \mathbf{u}) &= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( x(k)' Q x(k) + u(k).. 공감수 1 댓글수 0 2025. 3. 18.
[MPC책 공부 - 6] Finite Horizon문제의 한계와 Infitie Horzion의 장점 Finite Horizon문제의 한계와 Infitie Horzion의 장점유한한 시간 구간(Finite horizon)의 최적 제어 문제(LQ)는 항상 안정성(Stability)을 보장하지 않는다.칼만(Kalman, 1960)이 지적한 바와 같이, 유한 구간에서 최적 해를 구하더라도 폐루프 시스템이 불안정해질 가능성이 있다.예제다음과 같은 선형 시스템을 고려하자.\begin{align} x(k+1) &= A x(k) + B u(k) \\ y(k) &= C x(k) \end{align}주어진 예제 시스템의 행렬은 다음과 같다.\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 1.25 & 0.75 \\ 0.75 & 1.25 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}.. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 17.
[MPC책 공부 - 5] Backward Dynamic Programming을 이용한 LQ 최적 제어(Riccati iteration) 1. DP를 이용한 최적 제어 문제 설정일반적인 LQ 최적 제어 문제는 다음과 같이 주어진다.$$\begin{align}V(x(0), u) = \sum_{k=0}^{N-1} \ell(x(k), u(k)) + \ell_N(x(N))\end{align}$$여기서:\( \ell(x, u) \)는 단계별 비용 (Stage Cost) 로서, 제어 과정에서 상태 및 입력이 발생시키는 비용을 나타냄\( \ell_N(x) \)는 최종 비용 (Terminal Cost) 로서, 최종 상태에서 발생하는 비용을 나타냄책에서는 이 비용을 구체적으로 다음과 같이 정의하였다.$$\begin{align}\ell(x, u) &= \frac{1}{2} \left( x^T Q x + u^T R u \right) \\\ell_N(x) &=.. 공감수 1 댓글수 0 2025. 3. 13.
[MPC책 공부 - 4]LQ예제 문제 이차 함수의 합 Sum of Quadratic Functions (이차 함수의 합)이 예제에서는 두 개의 이차 함수 \( V_1(x) \) 및 \( V_2(x) \) 를 더한 결과가 또 다른 이차 함수가 됨을 보이고, 이를 다음 게시물에서 활용할 예정이다.1. 주어진 두 개의 이차 함수주어진 두 개의 이차 함수는 다음과 같다.\begin{align} V_1(x) &= \frac{1}{2} (x - a)^T A (x - a) \\ V_2(x) &= \frac{1}{2} (x - b)^T B (x - b) \end{align}여기서:\( A, B \)는 양의 정부호(Positive Definite) 행렬이다.\( a, b \)는 각각의 함수가 최소가 되는 점(즉, 중심점)이다.이 함수들은 이차 형식(quadratic for.. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 13.
[MPC책 공부 -3] LQ문제에서 Cost Function 유도 Cost Function \( V(x(0), u) \)의 유도 과정LQ 문제에서 사용되는 Cost Function:$$\begin{align}V(x(0), u) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1} \left( x(k)^T Q x(k) + u(k)^T R u(k) \right) + \frac{1}{2} x(N)^T P_f x(N)\end{align}$$이 수식은 최적 제어 문제에서 시스템이 원하는 목표 상태(보통 원점)로 이동하면서, 입력 사용을 최소화하도록 유도하는 목적 함수를 나타낸다. 이를 유도하기 위해 다음과 같은 단계가 필요하다.1. 기본적인 최적화 문제 설정주어진 시스템의 선형 상태공간 모델은 다음과 같다.$$\begin{align}x(k+1) &= A x(k) + B u(k.. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 12.
[MPC책 공부 - 2] LQ(Linear Quadratic) 1.3.1 Linear Quadratic Problem (LQ 문제)이 섹션에서는 선형 이차 (Linear Quadratic, LQ) 문제를 정의하고 이를 해결하는 방법을 다룬다. 주어진 시스템을 원점(0)으로 이동시키는 제어기를 설계하는 것이 목표이다. 만약 목표 상태(setpoint)가 원점이 아니라면, 이를 고려하여 문제를 수정해야 하며, 시간이 변화하는 setpoint를 따라가야 하는 경우에도 이에 맞게 제어 전략을 조정해야 한다.시스템 모델LQ 문제에서 다루는 시스템은 다음과 같은 선형 상태공간 모델로 표현된다.$$\begin{align}x(k+1) &= A x(k) + B u(k) \\y(k) &= C x(k)\end{align}$$여기서:\( x(k) \) : 시스템의 상태 벡터 (예: 로봇.. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 12.
[MPC책 공부 - 1] MPC Constraints 해당 내용은Model Predictive Control: Theory, Computation, and Design 책을 바탕으로 공부한 내용이다.제약 조건에는 크게 두 가지 유형이 있다.입력 제약 (Input Constraints)입력 제약은 물리적 한계를 나타내며, 예를 들어 다음과 같은 형태로 정의할 수 있다.$$ u(k) \in U, \quad k \in \mathbb{I}^{+} $$이는 입력 \( u(k) \)가 특정한 제약 집합 \( U \) 안에 있어야 한다는 뜻이다. 예를 들면, 로봇의 모터 토크 등에서 특정 한계를 넘지 못하도록 설정할 수 있다. 이러한 물리적 한계를 초과하려 하면, 실제 시스템이 강제로 제한을 가한다. 즉, 컨트롤러가 이를 준수하지 않더라도 실제 시스템이 물리적 한계로 .. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 12.
MPC (Model Predictive Control)란? MPC (Model Predictive Control)란?MPC(Model Predictive Control)는 현재 상태와 예측 모델을 이용하여 미래의 입력을 최적화하는 제어 기법이다.쉽게 말해, MPC는 다음 과정을 반복하며 최적화를 수행한다:미래 시스템 출력을 예측한다.예측된 결과를 평가하고 제어 입력을 최적화한다.최적화된 입력 중 첫 번째만 실제로 시스템에 적용하고, 다음 시간 스텝에서 다시 최적화를 수행한다.1. MPC의 핵심 개념Prediction Modelsystem의 dynamic을 모델링하여 만든다.일반적으로 선형 모델(LTI, Linear Time-Invariant)이 사용되지만, 경우에 따라 비선형 모델(NLTI, Nonlinear Time-Invariant)사용하기도 한다.Predi.. 공감수 0 댓글수 0 2025. 3. 4.

문의안내

티스토리
로그인
고객센터

티스토리는 카카오에서 사랑을 담아 만듭니다.