똑바른 날개

오늘은 매일 게시글 올리기로 한 친구가 당일약속 당일취소를 한 기념으로 게시글을 올리려고 한다.ㅋㅋ 책 1.3.5에 나오는 Controllability는 증명 부분이고, 요약하자면, Cayley-Hamilton정리에 의해, \(N\ge n\)일때( \( N \) 은 horizon이고, \( n \)은 state vector 즉, 차원) Controllability하다는 사실을 알고가면 된다. 증명하고자 하는 결론Infinite Horzion LQR 문제는 다음과 같은 Cost function을 최소화하는 문제이다.$$\begin{aligned}    V(\mathbf{x}, \mathbf{u}) &= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left( x(k)' Q x(k) + u(k)..

Finite Horizon문제의 한계와 Infitie Horzion의 장점유한한 시간 구간(Finite horizon)의 최적 제어 문제(LQ)는 항상 안정성(Stability)을 보장하지 않는다.칼만(Kalman, 1960)이 지적한 바와 같이, 유한 구간에서 최적 해를 구하더라도 폐루프 시스템이 불안정해질 가능성이 있다.예제다음과 같은 선형 시스템을 고려하자.\begin{align} x(k+1) &= A x(k) + B u(k) \\ y(k) &= C x(k) \end{align}주어진 예제 시스템의 행렬은 다음과 같다.\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 1.25 & 0.75 \\ 0.75 & 1.25 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}..

1. DP를 이용한 최적 제어 문제 설정일반적인 LQ 최적 제어 문제는 다음과 같이 주어진다.$$\begin{align}V(x(0), u) = \sum_{k=0}^{N-1} \ell(x(k), u(k)) + \ell_N(x(N))\end{align}$$여기서:\( \ell(x, u) \)는 단계별 비용 (Stage Cost) 로서, 제어 과정에서 상태 및 입력이 발생시키는 비용을 나타냄\( \ell_N(x) \)는 최종 비용 (Terminal Cost) 로서, 최종 상태에서 발생하는 비용을 나타냄책에서는 이 비용을 구체적으로 다음과 같이 정의하였다.$$\begin{align}\ell(x, u) &= \frac{1}{2} \left( x^T Q x + u^T R u \right) \\\ell_N(x) &=..